Μελλοντική αξία (FV) ενός σημερινού ποσού και Παρούσα αξία (PV) ενός μελλοντικού ποσού

1. Μελλοντική αξία (FV) ενός σημερινού ποσού
2. Παρούσα αξία (PV) ενός μελλοντικού ποσού

Παράδειγμα Μελλοντικής Αξίας (Future Value – FV)

Σενάριο:
Έχεις σήμερα 5.000 € και τα καταθέτεις σε μια τράπεζα με ετήσιο επιτόκιο 4%, για 5 χρόνια, με ετήσιο ανατοκισμό.
Θέλεις να βρεις:

Πόσα θα έχεις στο τέλος των 5 ετών;

Βήμα 1: Γράφουμε τα δεδομένα

• Παρούσα αξία (PV) = 5.000 €
• Επιτόκιο (r) = 4% = 0,04
• Περίοδοι (n) = 5 έτη
• Ζητούμενο: Μελλοντική αξία (FV)

Βήμα 2: Τύπος μελλοντικής αξίας

Βήμα 3: Αντικαθιστούμε τα δεδομένα

Βήμα 4: Ερμηνεία

Αν επενδύσεις 5.000 € σήμερα με επιτόκιο 4% για 5 χρόνια,
στο τέλος θα έχεις περίπου 6.083,26 €.

Η διαφορά 6.083,26 – 5.000 = 1.083,26 € είναι οι τόκοι που κέρδισες συνολικά (και περιλαμβάνουν και τον ανατοκισμό).

Παράδειγμα Παρούσας Αξίας (Present Value – PV)

Σενάριο:
Σου υπόσχονται ότι θα λάβεις 10.000 € σε 3 χρόνια.
Το κατάλληλο προεξοφλητικό επιτόκιο (δηλαδή η απόδοση που θα ζητούσες αν είχες τα χρήματα σήμερα) είναι 6% τον χρόνο.
Θέλεις να βρεις:

Πόσο αξίζουν αυτά τα 10.000 € σήμερα;

Βήμα 1: Γράφουμε τα δεδομένα

• Μελλοντική αξία (FV) = 10.000 €
• Επιτόκιο (r) = 6% = 0,06
• Περίοδοι (n) = 3 έτη
• Ζητούμενο: Παρούσα αξία (PV)

Βήμα 4: Ερμηνεία

Τα 10.000 € σε 3 χρόνια, με προεξόφληση στο 6%,
ισοδυναμούν περίπου με 8.396,19 € σήμερα.

Δηλαδή, αν είχες σήμερα 8.396,19 € και μπορούσες να τα επενδύσεις με απόδοση 6% για 3 χρόνια, θα έφτανες περίπου στα 10.000 €.

Σύγκριση – Τι μας δείχνουν PV και FV;

• Η Mελλοντική Aξία (FV) απαντά στην ερώτηση:

«Αν επενδύσω σήμερα Χ €, πόσα θα γίνουν στο μέλλον;»

• Η Παρούσα Aξία (PV) απαντά στην ερώτηση:

«Το ποσό Υ € που θα πάρω στο μέλλον, πόσο αξίζει σήμερα;»

Και τα δύο βασίζονται στην ίδια ιδέα:

Ο χρόνος και το επιτόκιο αλλάζουν την αξία του χρήματος.

—

Αναλυτικό παράδειγμα ράντας – Δάνειο με ίσες ετήσιες δόσεις

Σενάριο

Μια επιχείρηση παίρνει δάνειο 20.000 € με:

• Επιτόκιο: 5% ετησίως
• Διάρκεια: 5 χρόνια
• Αποπληρωμή: με ίση ετήσια δόση στο τέλος κάθε έτους (ordinary annuity)

Θέλουμε να βρούμε:

1. Το ποσό της ετήσιας δόσης
2. Τον διαχωρισμό τόκου–κεφαλαίου για τα πρώτα χρόνια
3. Το υπόλοιπο δανείου στο τέλος κάθε έτους

Η ετήσια δόση είναι περίπου 4.619,50 €.

• 1.2 Πίνακας αποπληρωμής (τα πρώτα έτη) Κάθε δόση χωρίζεται σε:
  • Τόκο = Υπόλοιπο αρχής έτους × επιτόκιο
  • Κεφάλαιο = Δόση – Τόκος
  • Νέο υπόλοιπο = Παλαιό υπόλοιπο – Κεφάλαιο

  Χρησιμοποιούμε:

  • Δόση: 4.619,50 €
  • Επιτόκιο: 5%

  Έτος 1

  • Υπόλοιπο στην αρχή: 20.000 €
  • Τόκος: 20.000 ⋅ 0,05 = 1.000€
  • Κεφάλαιο: 4.619,50 – 1.000 = 3.619,50€
  • Υπόλοιπο στο τέλος: 20.000 – 3.619,50 ≈ 16.380,50€

  Έτος 2

  • Υπόλοιπο αρχής: 16.380,50 €
  • Τόκος: 16.380,50 ⋅ 0,05 ≈ 819,03€
  • Κεφάλαιο: 4.619,50 – 819,03 ≈ 3.800,47€
  • Υπόλοιπο τέλους: 16.380,50 – 3.800,47 ≈ 12.580,03€

  Έτος 3

  • Υπόλοιπο αρχής: 12.580,03 €
  • Τόκος: 12.580,03 ⋅ 0,05 ≈ 629,00€
  • Κεφάλαιο: 4.619,50 – 629,00 ≈ 3.990,50€
  • Υπόλοιπο τέλους: 12.580,03 – 3.990,50 ≈ 8.589,53€

  Έτος 4

  • Υπόλοιπο αρχής: 8.589,53 €
  • Τόκος: 8.589,53 ⋅ 0,05 ≈ 429,48€
  • Κεφάλαιο: 4.619,50 – 429,48 ≈ 4.190,02€
  • Υπόλοιπο τέλους: 8.589,53 – 4.190,02 ≈ 4.399,51€

  Έτος 5

  • Υπόλοιπο αρχής: 4.399,51 €
  • Τόκος: 4.399,51 ⋅ 0,05 ≈ 220,00€
  • Κεφάλαιο: 4.619,50 – 220,00 ≈ 4.399,50€
  • Υπόλοιπο τέλους: ≈ 0 € (με μικρές στρογγυλοποιήσεις)

1.3 Τι δείχνει το παράδειγμα

• Στα πρώτα χρόνια, το μεγαλύτερο μέρος της δόσης είναι τόκος, μικρότερο κεφάλαιο.
• Στα τελευταία χρόνια, ο τόκος μειώνεται και αυξάνεται η αποπληρωμή κεφαλαίου.
• Αυτό είναι τυπική συμπεριφορά δανείου με ίσες δόσεις (ράντα).

Το ίδιο μαθηματικό μοντέλο (ράντα) εφαρμόζεται και στις συντάξεις:
σταθερή περιοδική πληρωμή (π.χ. κάθε έτος) που είναι η “δόση” που λαμβάνεις αντί να πληρώνεις.